モーメント

モーメント(moment)の定義

モーメントにはいくつかある。確率変数(random variable) $X$ それぞれに対してモーメントを対応させて考えることができる。

• $k$次のゼロモーメント(raw moment):
• $k$次の中心モーメント(central moment):
  • ${\mu }_k$と表記されることもあるが、$\mu \mathrm{\ne }{\mu }_1$には注意
• $k$次の標準モーメント(standardized moment):

ゼロモーメントと中心モーメントは、さらに以下のように一般化できる。

• $k$次の$a$周りのモーメント: $\mathrm{E}[(X-a{)}^k]$

モーメント母関数(moment generating function)

モーメント母関数とは、$k$次のモーメントを数列(number sequence)として生成する指数母関数(exponential generating function)のこと。

ゼロモーメントに関しては特に以下のようにして定義される。

$M_X$ の $X$ は文脈から明らかな場合は省略される。
また、 $M(\theta )=\mathrm{E}[\exp \left(X\theta \right)]$ というより簡単な表示がある。

期待値(expected value)の定義より、これは以下のように計算される。

• 離散の場合: ${\displaystyle M(\theta )=\sum _x\exp \left(x\theta \right)\cdot P(X=x)}$
• 連続の場合: ${\displaystyle M(\theta )={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\exp \left(x\theta \right)\cdot f(x)dx}$

なお、以降は連続確率分布(probability distribution)の場合のみを記述するが、基本はすべて離散確率分布の場合でも同様。

$\mathrm{E}\left[X^k\right]=\left({\left(\frac{<mi>d</mi>}{<mi>d</mi>\theta }\right)}^{k}M\right)(0)$ として計算できる。 (指数母関数の一般の特徴)

• 一般の$a$周りのモーメント母関数: $\mathrm{E}[\exp ((X-a)\theta )]$
  • で確率変数を新たに定義すれば、 $M_Y(\theta )$ そのものだ。
• 標準モーメント母関数(standardized moment generating function): $\mathrm{E}[\exp \left(\frac{X-\mu }{\sigma }\theta \right)]$
  • で確率変数を新たに定義すれば、 $M_Y(\theta )$ そのものだ。

モーメント母関数を利用した計算

• 平均 $\mu =\mathrm{E}\left[X\right]=M^{\mathrm{\prime }}(0)$
• 分散(variance) $\mathrm{E}\left[X^2\right]-{(\mathrm{E}\left[X\right])}^2=M^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)-(M^{\mathrm{\prime }}(0){)}^2$
  • $\mathrm{Var}\left(X\right)$ とも書き、 ${\mathrm{\kappa }}_2$ でもある。
  • 通常 ${\sigma }^2$ と書かれる。 $\sigma =\sqrt{{\mathrm{\kappa }}_2}$ のことを標準偏差(standard deviation)と呼ぶ。
  • 非負性: $0\le {\sigma }^2$
• 歪度
  • 負の値をとることがある。
  • 歪度は、確率分布の非対称性(歪み)を表す指標である。
  • 正方向ならば右に歪んでいる、負方向ならば左に歪んでいる。 (TODO: 図解)
• 尖度
  • 尖度は、確率分布の尖り具合を表す指標である。 (TODO: 図解)
  • 非負性:
• より一般に: TODO

などが得られる。

参考

• Skewness
• Moment (mathematics)
• Central moment
• Standardized moment