/statistics/discrete-poisson-distribution

ポアソン分布

意味

ポアソン過程(Poisson process)において、単位時間あたりの平均発生回数が $λ$ のとき、ある時間区間における発生回数を確率変数(random variable)とする離散確率分布(probability distribution)。

ポアソン過程について

TODO

確率質量関数(probability mass function)

P (X = k; λ) = e^{- λ} \frac{λ^{k}}{k!}

ここで確率変数 $X$ は発生回数、 $λ$ は単位時間あたりの平均発生回数を表すパラメータ(parameter)。

$\frac{λ^{k}}{k!}$ と $e^{- λ}$ に分解して見るとよい。そうすれば、指数関数(exponential function)のマクローリン展開 $e^{x} = \sum_{k} x^{k} / k!$ と、その正規化項として捉えられる。

期待値(expected value)と分散(variance)

\begin{aligned} E [X] & = λ \\ Var (X) & = λ \end{aligned}

感覚的な理解:
- 単位時間あたりの平均発生回数が $λ$ なので、期待値は $λ$ 。
- 発生回数の散らばりも、平均発生回数に比例する。
  - より多く起こるなら、よりバラバラに起こる。

参考