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二項分布

意味

成功確率(probability) $p$ のベルヌーイ試行(Bernoulli trial)を $n$ 繰り返したときの、成功回数を確率変数(random variable)とする離散確率分布(probability distribution)。

確率密度関数(probability density function (PDF))

f (k; n, p) = (\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k}

ここで $k$ は成功回数、 $n$ は試行回数、 $p$ は成功確率。

期待値(expected value)と分散(variance)

\begin{aligned} E [X] & = n p \\ Var (X) & = n p (1 - p) \end{aligned}

感覚的な理解:

$n$ 回の繰り返しのうち、割合として $p$ が成功するから、成功回数の期待値は $n p$ 。
期待値の線形性(linearity)から、 $E [X] = E [\sum_{i = 1}^{n} X_{i}] = \sum_{i = 1}^{n} E [X_{i}] = \sum_{i = 1}^{n} p = n p$ 。
- 期待 $p$ の成功への貢献が $n$ 個。
分散は $p = 0, 1$ で $0$ になる。片方の値しか出なければ散らばらない。
分散は $p = 0.5$ のときに最大値を取り、 $n / 4$ となる。満遍なく出るときが、最も散らばっている。
$n$ が大きいほど、分散は大きくなる。試行回数が多いほど、成功回数の散らばりは大きくなる。

モーメント母関数(moment generating function)

\begin{aligned} M_{X} (t) \\ = & E [e^{t X}] \\ = & \sum_{k = 0}^{n} e^{t k} f (k; n, p) \\ = & \sum_{k = 0}^{n} e^{t k} (\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k} \\ = & \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) (p e^{t})^{k} (1 - p)^{n - k} \\ = & ((p e^{t}) + (1 - p))^{n} & (二項定理) \\ = & (p e^{t} + 1 - p)^{n} \end{aligned}

$M_{X}^{'} (t) = n (p e^{t})^{n - 1} e^{t}$
$M_{X}^{''} (t) = n (n - 1) (p e^{t})^{n - 2} e^{2 t} + n (p e^{t})^{n - 1} e^{t}$
$E [X] = M_{X}^{'} (0) = n p$
$Var (X) = M_{X}^{''} (0) - (M_{X}^{'} (0))^{2} = n p (1 - p)$

double-countingによる別証明

TODO

参考

二項分布