トレース

行列(matrix)のトレース(trace)

正方行列(square matrix)$A$に対して、対角成分(main diagonal)の総和(summation)を行列のトレース$\mathrm{Tr}\left[A\right]$として定義する。

つまり、

性質

1. 線形性(linearity): $\mathrm{Tr}[\alpha A+\beta B]=\alpha \mathrm{Tr}\left[A\right]+\beta \mathrm{Tr}\left[B\right]$
2. $\mathrm{Tr}\left[AB\right]=\mathrm{Tr}\left[BA\right]$

不変量(invariable)

以下のような行列の操作に対して行列のトレースは不変(invariant)である。

1. 転置(transpose): $\mathrm{Tr}\left[A\right]=\mathrm{Tr}\left[{}^{\mathrm{t}}A\right]$
2. 相似(similar): $\mathrm{Tr}\left[P^{-1}AP\right]=\mathrm{Tr}\left[A\right]$
3. 巡回(cyclic): $\mathrm{Tr}\left[\mathrm{\Pi }{A}_i\right]=\mathrm{Tr}\left[\mathrm{\Pi }{A}_{\sigma (i)}\right]$、ただし、$\sigma \in {\mathfrak{S}}_n(n)$

TODO: 解説と証明

一般のトレースの定義

より一般のトレースの定義をして、その定義を行列のトレースに対して満たすものが行列のトレースか、もしくは定数倍のみであることを確かめる。

TODO