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行列式(determinant)

正方行列(square matrix) $A \in R^{n \times n}$ に対する行列式 $\det A \in R$ を定義する。

$∣ A ∣$ と表記することもある。

まず、再帰的(recursive)な定義を与え、その後に置換(permutation)の偶奇(parity)を用いた定義を与える。

再帰的な定義

$n = 0$ について、 $\det \emptyset = 1$ と定義する。

$n = k + 1$ について、 $k \times k$ 以下の行列式が定義されているとする。

$\underset{n \times n}{A}$ に対し、 $\underset{k \times k}{A_{i}}$ を $A$ の第 $n - 1$ 列(column)目と第 $i$ 行(row)目を除いたものとする。

$\det A_{i}$ が定義されているので、

\det A \overset{def}{=} \sum_{i \in n} (- 1)^{(k + i)} \det A_{i} \cdot a_{i, k}

として定義する。

つまり、一番右の各要素(element)について、行列(matrix)を以下のように分割する。

(\begin{array}{cc} \begin{array}{cccc} a_{0, 0} & a_{0, 1} & \dots & a_{0, m - 2} \\ a_{1, 0} & a_{1, 1} & \dots & a_{1, m - 2} \\ ⋮ & ⋮ & \dots & ⋮ \\ a_{i - 1, 0} & a_{i - 1, 1} & \dots & a_{i - 1, m - 2} \end{array} & \begin{array}{c} a_{0, m - 1} \\ a_{1, m - 1} \\ ⋮ \\ a_{i - 1, m - 1} \end{array} \\ \begin{array}{cccc} a_{i, 0} & a_{i, 1} & \dots & a_{i, m - 1} \end{array} & a_{i, m - 1} \\ \begin{array}{cccc} a_{i + 1, 0} & a_{i + 1, 1} & \dots & a_{i + 1, m - 2} \\ ⋮ & ⋮ & \dots & ⋮ \\ a_{n - 1, 0} & a_{n - 1, 1} & \dots & a_{n - 1, m - 2} \end{array} & \begin{array}{c} a_{i + 1, m - 1} \\ ⋮ \\ a_{n - 1, m - 1} \end{array} \end{array})

上記の左側の行列式と、右の今見ている要素を掛け合わせ、そしてそれらを、プラス、マイナス、プラス、…と交互に足し合わせる。 $k$ によってはマイナスから始まる。

\begin{aligned} \underset{n \times n}{∣ \begin{array}{ccccc} a_{0, 0} & a_{0, 1} & \dots & a_{0, m - 2} & a_{0, m - 1} \\ a_{1, 0} & a_{1, 1} & \dots & a_{1, m - 2} & a_{1, m - 1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n - 1, 0} & a_{n - 1, 1} & \dots & a_{n - 1, m - 2} & a_{n - 1, m - 1} \end{array} ∣} \\ = & \sum_{i \in n} (- 1)^{(k + i)} a_{i, n - 1} \underset{k \times k}{∣ \begin{array}{cccc} ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{i - 1, 0} & a_{i - 1, 1} & \dots & a_{i - 1, m - 2} \\ a_{i + 1, 0} & a_{i + 1, 1} & \dots & a_{i + 1, m - 2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \end{array} ∣} \end{aligned}

$n = 1$ の場合。

\begin{aligned} ∣ \begin{array}{c} a_{0, 0} \end{array} ∣ \\ = & (- 1)^{(0 + 0)} (\det \emptyset) \cdot a_{0, 0} \\ = & a_{0, 0} \end{aligned}

$n = 2$ の場合。

\begin{aligned} ∣ \begin{array}{cc} a_{0, 0} & a_{0, 1} \\ a_{1, 0} & a_{1, 1} \end{array} ∣ \\ = & (- 1)^{(1 + 0)} \cdot a_{0, 1} \cdot ∣ \begin{array}{c} a_{1, 0} \end{array} ∣ + (- 1)^{(1 + 1)} \cdot a_{1, 1} \cdot ∣ \begin{array}{c} a_{0, 0} \end{array} ∣ \\ = & (- 1) \cdot a_{0, 1} \cdot a_{1, 0} + 1 \cdot a_{1, 1} \cdot a_{0, 0} \\ = & a_{0, 0} \cdot a_{1, 1} - a_{0, 1} \cdot a_{1, 0} \end{aligned}

置換の偶奇を用いた定義

\det \underset{n \times n}{A} \overset{def}{=} \sum_{σ \in S (n)} sgn (σ) (\prod_{i \in n} a_{σ (i), i})

TODO: 以下は別の場所に定義
全単射(bijection) $σ : {0, 1, \dots, n - 1} \to {0, 1, \dots, n - 1}$ を
長さ $n$ の置換という。 $σ$ 全体の集合(set)はこの置換は、その不変量(invariable)として偶奇を考えることができる。置換 $σ$ の偶奇 $sgn σ \in N$ を、 $σ$ の

証明

それぞれの定義が等価であることを証明する。

P (n) ≔ [\sum_{i \in n} (- 1)^{(k + i)} \det A_{i} \cdot a_{i, k} = \sum_{σ \in S (n)} sgn (σ) (\prod_{i \in n} a_{σ (i), i})]

帰納法による。 $P (0)$ は明らか。 $n = k + 1$ とおいて、 $P (k) ⟹ P (n)$ を示す。

置換 $S (n)$ を $k = n - 1$ を動かさないものと、動かすものに分ける。

$S_{F I X} (n) ≔ {σ \in S (n); σ (n - 1) = n - 1}$
$S_{M O V} (n) ≔ {σ \in S (n); σ (n - 1) \neq n - 1}$

とする。すると、 $S (n) = S_{F I X} (n) \cup S_{M O V} (n)$ であり、 $S_{F I X} (n) \cap S_{M O V} (n) = \emptyset$ である。

\begin{aligned} \sum_{i \in n} (- 1)^{(k + i)} \det A_{i} \cdot a_{i, k} \\ = & \sum_{i \in n} (- 1)^{(k + i)} (\sum_{σ \in S (k)} sgn (σ) (\prod_{i \in k} a_{σ (i), i})) \cdot a_{i, k} & (P (k) を展開) \\ = & \sum_{i \in n} (- 1)^{(k + i)} (\sum_{σ \in S_{F I X} (n)} sgn (σ) (\prod_{i \in k} a_{σ (i), i})) \cdot a_{i, k} \\ = & \sum_{i \in n} \sum_{σ \in S_{F I X} (n)} ((- 1)^{(k + i)} sgn (σ) (\prod_{i \in k} a_{σ (i), i}) \cdot a_{i, k}) & () \\ = & \sum_{i \in n} \sum_{σ \in S_{F I X} (n)} (sgn (σ \cdot < i, k >) (\prod_{i \in k} a_{(σ \cdot < i, k >) (i), i}) \cdot a_{(σ \cdot < i, k >) (k), k}) \\ = & \sum_{i \in n} \sum_{σ \in S_{F I X} (n)} (sgn (σ \cdot < i, k >) (\prod_{i \in n} a_{(σ \cdot < i, k >) (i), i})) \\ = & \sum_{σ \in S (n)} (sgn (σ) (\prod_{i \in n} a_{σ (i), i})) \end{aligned}

最後、 $\sum_{i \in n} \sum_{σ \in S_{F I X} (n)}$ は $(σ \cdot < i, k >) (i)$ を介して $S (n)$ 全体をイテレートすることを用いた。これは、もとのシグマ2つは、 $k$ の移動先 $i$ で分岐していると考えるとよい。

■

行列式の性質

行と列は対称的

$σ$ は全単射なので $σ^{- 1}$ を考えて、

\begin{aligned} \det \underset{n \times n}{A} \\ = & \sum_{σ \in S (n)} sgn (σ) \prod_{i \in n} a_{σ (i), i} \\ = & \sum_{σ \in S (n)} sgn (σ) \prod_{i \in n} a_{i, σ^{- 1} (i)} \end{aligned}

になるが、当然ながら $σ^{- 1}$ 全体の集合全体もまた $S (n)$ になる。

そのため、

\begin{aligned} \det \underset{n \times n}{A} \\ = & \sum_{σ \in S (n)} sgn (σ) \prod_{i \in n} a_{i, σ (i)} \end{aligned}

が言える。

以下で述べる列に対する性質は、行に対しても成り立つことになる。

これは、 $∣ A ∣ = ∣^{t} A ∣$ であるということに他ならない。

列の定数倍

\begin{aligned} ∣ \begin{array}{ccc} \dots & c \cdot a_{k} & \dots \end{array} ∣ \\ = & c ∣ \begin{array}{ccc} \dots & a_{k} & \dots \end{array} ∣ \end{aligned}

証明

\begin{aligned} (左辺) \\ = & \sum_{σ} sgn (σ) \cdot a_{\overline{σ (0), 0}} \dots (c \cdot a_{\overline{σ (k), k}}) \dots a_{\overline{σ (n - 1), n - 1}} & (の定義) \\ = & c \cdot \sum_{σ} sgn (σ) \cdot a_{\overline{σ (0), 0}} \dots a_{\overline{σ (k), k}} \dots a_{\overline{σ (n - 1), n - 1}} \\ = & (右辺) \end{aligned}

■

列の線形性(linearity)

\begin{aligned} ∣ \begin{array}{ccccc} \dots & a_{k} + {a^{'}}_{k} & \dots \end{array} ∣ \\ = & ∣ \begin{array}{ccccc} \dots & a_{k} & \dots \end{array} ∣ + ∣ \begin{array}{ccccc} \dots & {a^{'}}_{k} & \dots \end{array} ∣ \end{aligned}

列の交代性

\begin{aligned} ∣ \begin{array}{ccccccc} \dots & a_{i} & \dots & a_{j} & \dots \end{array} ∣ \\ = & - ∣ \begin{array}{ccccccc} \dots & a_{j} & \dots & a_{i} & \dots \end{array} ∣ \end{aligned}

証明

置換 $σ$ と、 $i$ と $j$ の互換(swap) $< i, j >$ を適用することを $σ \cdot < i, j >$ とかく。つまり、

(σ \cdot < i, j >) (k) = {\begin{cases} j & if k = i \\ i & if k = j \\ σ (k) & otherwise \end{cases}

となる。

\begin{aligned} (左辺) \\ = & \sum_{σ} sgn (σ) \prod_{k \in n} a_{\overline{σ (k), k}} & (の定義) \\ = & \sum_{σ} sgn (σ) (\prod_{k \in n ∖ {i, j}} a_{\overline{σ (k), k}}) a_{\overline{σ (i), i}} a_{\overline{σ (j), j}} & (i と j は分ける) \\ = & \sum_{σ} (- sgn (σ \cdot < i, j >)) (\prod_{k \in n ∖ {i, j}} a_{\overline{σ (k), k}}) a_{\overline{σ (i), i}} a_{\overline{σ (j), j}} & (i と j の を考える) \\ = & - \sum_{σ} sgn (σ \cdot < i, j >) (\prod_{k \in n ∖ {i, j}} a_{\overline{σ (k), k}}) a_{\overline{σ (i), i}} a_{\overline{σ (j), j}} & (に関する) \\ = & - \sum_{σ} sgn (σ \cdot < i, j >) (\prod_{k \in n ∖ {i, j}} a_{\overline{(σ \cdot < i, j >) (k), k}}) a_{\overline{((σ \cdot < i, j >) (j), i}} a_{\overline{((σ \cdot < i, j >) (i), j}} & (先述の定義より) \\ = & - \sum_{σ} sgn (σ^{'}) (\prod_{k \in n ∖ {i, j}} a_{\overline{σ^{'} (k), k}}) a_{\overline{σ^{'} (j), i}} a_{\overline{σ^{'} (i), j}} & (σ^{'} ≔ σ \cdot < i, j > とした) \\ = & - \sum_{σ^{'}} sgn (σ^{'}) (\prod_{k \in n ∖ {i, j}} a_{\overline{σ^{'} (k), k}}) a_{\overline{σ^{'} (j), i}} a_{\overline{σ^{'} (i), j}} & (後述) \\ = & (右辺) \end{aligned}

最後は、 $S (n) \cdot < i, j > = {σ \cdot < i, j >; σ \in S (n)} = S (n)$ であるから、 $σ^{'}$ はすべての $S (n)$ の要素をイテレートする。

注目すべきは、最後の行の $i$ と $j$ が互いに逆になっている点だ。

■

同じ値を持つ列がある場合、行列式は零(zero)

\begin{aligned} ∣ \begin{array}{ccccccc} \dots & a_{i} & \dots & a_{i} & \dots \end{array} ∣ \\ = & - ∣ \begin{array}{ccccccc} \dots & a_{i} & \dots & a_{i} & \dots \end{array} ∣ \end{aligned}

つまり、 $A = - A$ という形になるが、 $(a_{i, j}) = - (a_{i, j}) = (- a_{i, j})$ より、 $a_{i, j} = 0$ となる。

零列を含む場合、行列式は零

$0 \cdot 0 = 0$ であるので、

\begin{aligned} ∣ \begin{array}{ccccc} \dots & 0 & \dots \end{array} ∣ \\ = & ∣ \begin{array}{ccccc} \dots & 0 \cdot 0 & \dots \end{array} ∣ \\ = & 0 \cdot ∣ \begin{array}{ccccc} \dots & 0 & \dots \end{array} ∣ \\ = & 0 \end{aligned}

となる。

ある列の定数倍を、異なる列に加えても行列式は変化しない

\begin{aligned} ∣ \begin{array}{ccccccc} \dots & a_{i} & \dots & (a_{j} + c \cdot a_{i}) & \dots \end{array} ∣ \\ = & ∣ \begin{array}{cccccc} \dots & a_{i} & \dots & a_{j} & \dots \end{array} ∣ + (c \cdot ∣ \begin{array}{cccccc} \dots & a_{i} & \dots & a_{j} & \dots \end{array} ∣) \\ = & ∣ \begin{array}{cccccc} \dots & a_{i} & \dots & (a_{i} + a_{j}) & \dots \end{array} ∣ + 0 \\ = & ∣ \begin{array}{cccccc} \dots & a_{i} & \dots & a_{j} & \dots \end{array} ∣ \end{aligned}

次数(degree)の低下

ある列が、ひとつの要素を除いて $0$ である場合、次のように、より小さな行列の行列式のみを考えれば良くなる。

他の性質から、交換を $2$ 回以下行うことで、（符号の変化を除いて）以下のような形のみ考えれば良いことになる。

\begin{aligned} ∣ \begin{array}{cccc} a_{0, 0} & 0 & \dots & 0 \\ a_{1, 0} & a_{1, 1} & \dots & a_{0, m - 1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n - 1, 0} & a_{n - 1, 1} & \dots & a_{n - 1, m - 1} \end{array} ∣ \\ = & a_{0, 0} ∣ \begin{array}{ccc} a_{1, 1} & \dots & a_{1, m - 1} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n - 1, 1} & \dots & a_{n - 1, m - 1} \end{array} ∣ \end{aligned}

定義行列式の定義と性質を用いるとすぐにわかる。

系: 上三角行列(upper triangular matrix)の行列式は対角成分(main diagonal)の総積(product)

行列式の定義と性質を繰り返し適用すると以下のようになる。

∣ \begin{array}{cccc} a_{0, 0} & a_{0, 1} & \dots & a_{0, m - 1} \\ a_{1, 1} & \dots & a_{1, m - 1} \\ ⋱ & ⋮ \\ a_{n - 1, m - 1} \end{array} ∣ = a_{0, 0} \cdot a_{1, 1} \dots a_{n - 1, m - 1}

下三角行列(lower triangular matrix)についても同様である。

このことから、 $\det I = 1$ も従う。

基本行列(elementary matrix)と行列式

今までの性質を基本行列で表現し直していく。

$∣ P_{i} (c) A ∣ = c ∣ A ∣$
- $A = I$ を代入すると、 $∣ P_{i} (c) ∣ = c$ より、 $∣ P_{i} (c) ∣ \cdot ∣ A ∣$ とも書ける
$∣ P_{i, j} (c) A ∣ = ∣ A ∣$
- $A = I$ を代入すると、 $∣ P_{i, j} (c) ∣ = 1$ より、 $∣ P_{i, j} (c) ∣ \cdot ∣ A ∣$ とも書ける
$∣ P_{i, j} A ∣ = - ∣ A ∣$
- $A = I$ を代入すると、 $∣ P_{i, j} ∣ = - 1$ より、 $∣ P_{i, j} ∣ \cdot ∣ A ∣$ とも書ける

系: 基本行列 $P$ について、 $∣ P A ∣ = ∣ P ∣ \cdot ∣ A ∣$

右側に関する $∣ A P ∣ = ∣ A ∣ \cdot ∣ P ∣$ も同様に、列基本変形(elementary column operation)を考えるとよい。行列式は行と列に関して対称であることを思い出す。

系: 基本行列の行列式は $0$ ではない

定理: 正方行列 $A$ について。 $A$ が正則行列(invertible) $⟺ ∣ A ∣ \neq 0$

証明

$⟹$ について。

正則行列 $A$ について、簡約化(matrix reduction)を考える。

\begin{aligned} P_{0} P_{1} \dots P_{p - 1} A = I \\ ⟹ & ∣ P_{0} P_{1} \dots P_{p - 1} A ∣ = ∣ I ∣ & (両辺の を考える) \\ ⟺ & ∣ P_{0} ∣ \cdot ∣ P_{1} ∣ \dots ∣ P_{p - 1} ∣ \cdot ∣ A ∣ = ∣ I ∣ & (TODO を p 回適用) \end{aligned}

となるが、 $∣ I ∣ = 1$ であるため、 $∣ A ∣ \neq 0$ 。

$⟸$ については、対偶を考える。正則行列でない正方行列 $A$ について、簡約化を考える。

\begin{aligned} P A = X & ⟹ & ∣ P A ∣ = ∣ X ∣ & (両辺の) \\ ⟺ & ∣ P ∣ \cdot ∣ A ∣ = ∣ X ∣ & (上記の議論より) \end{aligned}

$X$ は零行を含む。含まなかったら $X = I$ となって $A$ が正則行列でないことに反する。よって $∣ X ∣ = 0$ である。

上記議論より $∣ P ∣ \neq 0$ なので、 $∣ A ∣ = 0$ となる。

■

定理: $∣ A B ∣ = ∣ A ∣ \cdot ∣ B ∣$

証明

$A$ が正則行列の場合について。簡約化を考えて $P A = I$ 、 $A = P^{- 1} = P_{p - 1}^{- 1} \dots P_{1}^{- 1} P_{0}^{- 1}$ となる。行列式の定義と性質を $p$ 回適用して

$∣ A B ∣ = ∣ P_{p - 1}^{- 1} \dots P_{1}^{- 1} P_{0}^{- 1} B ∣ = ∣ P_{p - 1}^{- 1} ∣ \dots ∣ P_{1}^{- 1} ∣ \cdot ∣ P_{0}^{- 1} ∣ \cdot ∣ B ∣$

となる。

$A$ が正則行列でない場合について。TODOより、 $A B$ も正則行列でないため、両辺はそれぞれ $0$ だとわかる。

■

系: $∣ A^{- 1} ∣ = ∣ A ∣^{- 1}$

証明

\begin{aligned} A A^{- 1} = I \\ ⟹ & ∣ A A^{- 1} ∣ = ∣ I ∣ & (両辺の) \\ ⟺ & ∣ A ∣ \cdot ∣ A^{- 1} ∣ = 1 & (TODO) \\ ⟺ & ∣ A^{- 1} ∣ = ∣ A ∣^{- 1} \end{aligned}

■

行列式の計算方法

ガウスの消去法(Gaussian elimination)に似た方法で、上三角行列を目指せばよい。

行列式の定義と性質

行列式(determinant)

再帰的な定義

置換の偶奇を用いた定義

証明

行列式の性質

行と列は対称的

列の定数倍

証明

列の線形性(linearity)

列の交代性

証明

同じ値を持つ列がある場合、行列式は零(zero)

零列を含む場合、行列式は零

ある列の定数倍を、異なる列に加えても行列式は変化しない

次数(degree)の低下

系: 上三角行列(upper triangular matrix)の行列式は対角成分(main diagonal)の総積(product)

基本行列(elementary matrix)と行列式

系: 基本行列PPについて、∣PA∣=∣P∣⋅∣A∣∣PA∣=∣P∣⋅∣A∣

系: 基本行列の行列式は00ではない

定理: 正方行列AAについて。AA が正則行列(invertible) ⟺ ∣A∣≠0⟺∣A∣=0

証明

定理: ∣AB∣=∣A∣⋅∣B∣∣AB∣=∣A∣⋅∣B∣

証明

系: ∣A−1∣=∣A∣−1∣A−1∣=∣A∣−1

証明

行列式の計算方法

系: 基本行列 $P$ について、 $∣ P A ∣ = ∣ P ∣ \cdot ∣ A ∣$

系: 基本行列の行列式は $0$ ではない

定理: 正方行列 $A$ について。 $A$ が正則行列(invertible) $⟺ ∣ A ∣ \neq 0$

定理: $∣ A B ∣ = ∣ A ∣ \cdot ∣ B ∣$

系: $∣ A^{- 1} ∣ = ∣ A ∣^{- 1}$