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余因子(cofactor)

$A = (\begin{array}{ccc} B & * & C \\ * & a_{i, j} & * \\ B & * & E \end{array})$ について、

${\tilde{a}}_{i, j} \overset{def}{=} (- 1)^{i + j} ∣ \begin{array}{cc} B & C \\ D & E \end{array} ∣$ と定義し、これを $(i, j)$ 余因子と呼ぶ。

行列式(determinant)の余因子による展開

$i$ 行(row)目について。

\begin{aligned} ∣ A ∣ \\ = & ∣ \begin{array}{c} * \\ \begin{array}{cccc} a_{i, 0} & a_{i, 1} & \dots & a_{i, n - 1} \end{array} \\ * \end{array} ∣ \\ = & ∣ \begin{array}{c} * \\ \begin{array}{cccc} a_{i, 0} & 0 & \dots & 0 \end{array} \\ * \end{array} ∣ + ∣ \begin{array}{c} * \\ \begin{array}{cccc} 0 & a_{i, 1} & \dots & 0 \end{array} \\ * \end{array} ∣ + \dots + ∣ \begin{array}{c} * \\ \begin{array}{cccc} 0 & 0 & \dots & a_{i, n - 1} \end{array} \\ * \end{array} ∣ \\ = & a_{i, 0} {\tilde{a}}_{i, 0} + a_{i, 1} {\tilde{a}}_{i, 1} + \dots + a_{i, n - 1} {\tilde{a}}_{i, n - 1} \\ = & \sum_{k \in n} a_{i, k} {\tilde{a}}_{i, k} \end{aligned}

同様にして、 $j$ 列(column)目について、 $∣ A ∣ = \sum_{k \in n} a_{k, j} {\tilde{a}}_{k, j}$

$i \neq i^{'}$ について、 $\sum_{k \in n} a_{i^{'}, k} {\tilde{a}}_{i, k}$ を考える。
これは、 $A$ の $i^{'}$ 行目を $i$ 行目にコピーして、 $i$ 行目で展開していた行列式になる。よって、同じ行を持つ行列の行列式なので $0$ となる。列に対しても同様にすると、

$i \neq i^{'}$ について、 $\sum_{k \in n} a_{i^{'}, k} {\tilde{a}}_{i, k} = 0$
$j \neq j^{'}$ について、 $\sum_{k \in n} a_{k, j^{'}} {\tilde{a}}_{k, j} = 0$

となる。まとめると、クロネッカーのデルタ(Kronecker delta)を用いて、

$\sum_{k \in n} a_{i, k} {\tilde{a}}_{j, k} = ∣ A ∣ δ_{i, j}$
$\sum_{k \in n} a_{k, i} {\tilde{a}}_{k, j} = ∣ A ∣ δ_{i, j}$

とかける。