線形空間

線形空間(linear space)

体(field)（たい）$(\mathbb{K},{+}_{\mathbb{K}},{\cdot }_{\mathbb{K}})$に対し、$\mathbb{K}$上の線形空間とは、集合(set)$V$、$V$上の加算(addition)${+}_V:V\times V\to V$とスカラー倍(scaling)$\cdot :\mathbb{K}\times V\to V$の組(tuple)$(V,{+}_V,\cdot )$であって次の公理(axiom)を満たすものである。それなりに分類しているが、わかりにくければ無視して問題ない。

• $(V,{+}_V)$が以下の公理を満たす（可換群(commutative group)）
  • 結合律: $(\mathbf{a}+\mathbf{b})+\mathbf{c}=\mathbf{a}+(\mathbf{b}+\mathbf{c})$
  • 可換(commutative)律: $\mathbf{a}+\mathbf{b}=\mathbf{b}+\mathbf{a}$
  • 単位元(identity)$0$の存在: $\mathbf{0}+\mathbf{a}=\mathbf{a}+\mathbf{0}=\mathbf{0}$
  • 逆元(inverse)$-\mathbf{a}$の存在: $\mathbf{a}+(-\mathbf{a})=\mathbf{0}$
• $k\cdot \mathbf{a}$は次のように、ある種の構造を保存する（準同型射(homomorphism)）
  • 線形性(linearity): $k\cdot (\mathbf{a}+\mathbf{b})=k\cdot \mathbf{a}+k\cdot \mathbf{b}$
• 作用(action)させても変化しない$k\in \mathbb{K}$（恒等射(identity morphism)）の存在（後述）
  • $1\cdot \mathbf{a}=\mathbf{a}$
• 作用は結合的である
  • $(k{\cdot }_{\mathbb{K}}l)\cdot \mathbf{a}=k\cdot (l\cdot \mathbf{a})$

ただし、$\mathbf{a},\mathbf{b}\in V$、$k\in \mathbb{K}$である。今後も同様に、太字で$V$の要素(element)を、普通のイタリック体で$\mathbb{K}$の要素を表すものとして、$+$は${+}_{\mathbb{K}}$か${+}_V$のうち、どちらであるか自動でわかるので省略する。乗算(multiplication)${\cdot }_{\mathbb{K}}$についても同様、また、単に省略することもある。

$V$の要素をベクトル(vector)と呼ぶ。

線形空間の例

線形空間は多くの分野で実用的なものは非常に興味深いものなど多くある。

最も基本的なものは$\mathbb{R}$上の実数ベクトル空間(real vector space)${\mathbb{R}}^n$と、$\mathbb{C}$上の複素ベクトル空間${\mathbb{C}}^n$だ。

${\mathbb{C}}^n$は$\mathbb{R}$上の線形空間であると捉えることも可能。
同様に、$n\in \mathbb{N}$に対して、${\mathbb{K}}^n$を${\mathbb{R}}^n$の演算(operation)と同様の定義とする。${\mathbb{K}}^n$は$\mathbb{K}$上の線形空間となる。

$\mathbb{K}$上の線形空間$V$と集合$X$について、$f:X\to V$であるような$f$全体（$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(X,V)$）を以下のような演算とともに関数空間(function space)として定義する。この関数空間は$\mathbb{K}$上の線形空間となる。

• $(f+g)(x)<mi\; mathvariant="normal">≔</mi>f(x)+g(x)$
• $(k\cdot f)(x)<mi\; mathvariant="normal">≔</mi>k\cdot f(x)$

その他の多くの線形空間については、TODOなどを参照。

線形空間の解釈

線形空間を考えるモチベーションについて。
線形空間はまず体$(\mathbb{K},{+}_{\mathbb{K}},{\cdot }_{\mathbb{K}})$と可換群$(V,{+}_V)$、そしてそれらを結ぶ、作用$k\cdot \mathbf{a}$からなる。

最後の演算を追加するまでは、$V$と$\mathbb{K}$は独立している。それを結ぶのが、作用である。それは何でもいいというわけではなく、ある種の構造を保存したまま、$V$を$V$に変換する。そういう変換のことを、$V$上の$\mathbb{K}$の作用と呼ぶ。これは$V$の準同型射ともいう。（そうみなせる）

このある種の構造を保つ、$V$から$V$（ないしはその他の線形空間$W$）への変換は、これから解説する線形変換(linear transformation)というものであり、それらはたくさんあるのだが、それらを行列(matrix)を通して見る事ができるのである。

等価な公理: 乗じても変化しない$k\in \mathbb{K}$が存在 $⟺$ $1$を乗じても変化しない

線形空間の公理のなかに$1\cdot \mathbf{a}=\mathbf{a}$というものがある。

これは、$k\cdot \mathbf{a}=\mathbf{a}$であるような$k$が存在することと等価なのだ。まずはこのことを証明する。

命題: $\mathrm{\exists }k\in \mathbb{K}[\mathrm{\forall }a\in V[k\cdot \mathbf{a}=\mathbf{a}]]⟺1\cdot \mathbf{a}=\mathbf{a}$

つまり、該当の公理は、ただ「とにかく何でもいいから、掛けても変化しない値が存在する」といっているのと等価だということだ。

これは、圏(category)でいうところの、恒等射の存在の公理に相当する。実際、圏の中に線形空間を構築すると、該当の公理は圏の公理から自動で得られる事になる。