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線型写像(mapping)

同じ $K$ 上の線形空間(linear space) $V, W$ について、 $f : V \to W$ であって、つぎの性質を満たすものを線形空間という。

加算(addition)を保存: $f (a + b) = f (a) + f (b)$
スカラー倍(scaling)を保存: $c \cdot f (a) = f (c \cdot a)$

これは $V$ から $W$ への準同型射(homomorphism) $H o m (V, W)$ にほかならない。つまり、 $V$ の構造を $W$ の中にもっていく写像だ。

線型写像の性質

$f (0) = 0$
$f (- a) = - f (a)$

線形変換(linear transformation)

$V = W$ であるような線型写像(つまり自己同型射(automorphism)ともいえる)を線形変換と呼ぶ。

表現行列(transformation matrix)

$V$ と $W$ を有限次元(finite dimension)の線形空間とする。 $n = \dim V, m = \dim W$ とする。
また、 $V$ の基底 $E^{V} = (\begin{array}{cccc} e_{0}^{V} & e_{1}^{V} & \dots & e_{n - 1}^{V} \end{array})$ と $W$ の基底 $E^{W} = (\begin{array}{cccc} e_{0}^{W} & e_{1}^{W} & \dots & e_{m - 1}^{W} \end{array})$ をとる。（任意のどれかをとると考えて良い）
線型写像 $f : V \to W$ を考える。 $v \in V$ について、 $f (v) ≕ w$ とする。

基底を用いれば、 $x \in K^{n}$ 、 $y \in K^{m}$ が存在して、 $v =^{t} x \cdot E^{V}$ 、 $w =^{t} y \cdot E^{W}$ と書ける。

このとき、 $A \in K^{m \times n}$ が存在して、 $A x = y$ の形式で表せる。このときの $A$ を表現行列と呼ぶ。

まとめると以下のような対比ができる。

f (v) = w f (^{t} x \cdot E^{V}) =^{t} y \cdot E^{W} A x = y

線型写像 $f$ は行列(matrix)で表せるということだ。

「表現行列で表すこと」を指して、行列表現と言ったりするが、英語では普通に shown in matrix A のように書かれる。

簡単に直感的な定義を与えると、 $A = (\begin{array}{cccc} f (e_{0}^{V}) & f (e_{1}^{V}) & \dots & f (e_{n - 1}^{V}) \end{array})$ となる。

証明

各 $j \in n$ について、 $f (e_{j}^{V}) = \sum_{i \in m} a_{i, j} \cdot e_{i}^{W}$ のように表わせる。

$A ≔ (a_{i, j})$ が表現行列になる。それを導く。

w = f (^{t} x \cdot e^{V}) = f (\sum_{j \in n} x_{j} \cdot e_{j}^{V}) = \sum_{j \in n} x_{j} \cdot f (e_{j}^{V}) = \sum_{j \in n} x_{j} \cdot \sum_{i \in m} a_{i, j} \cdot e_{i}^{W} = \sum_{i \in m} (\sum_{j \in n} a_{i, j} \cdot x_{j}) \cdot e_{i}^{W}

$y_{j} = \sum_{j \in n} a_{i, j} \cdot x_{j} = (\begin{array}{cccc} a_{i, 0} & a_{i, 1} & \dots & a_{i, n - 1} \end{array}) \cdot x$

y = (\begin{array}{c} y_{0} \\ y_{1} \\ ⋮ \\ y_{m - 1} \end{array}) = (\begin{array}{c} (\begin{array}{cccc} a_{0, 0} & a_{0, 1} & \dots & a_{0, n - 1} \end{array}) \cdot x \\ (\begin{array}{cccc} a_{1, 0} & a_{1, 1} & \dots & a_{1, n - 1} \end{array}) \cdot x \\ ⋮ \\ (\begin{array}{cccc} a_{m - 1, 0} & a_{m - 1, 1} & \dots & a_{m - 1, n - 1} \end{array}) \cdot x \end{array}) = (\begin{array}{cccc} a_{0, 0} & a_{0, 1} & \dots & a_{0, m - 1} \\ a_{1, 0} & a_{1, 1} & \dots & a_{1, m - 1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n - 1, 0} & a_{n - 1, 1} & \dots & a_{n - 1, m - 1} \end{array}) \cdot x = A \cdot x

■

実際には $A$ は基底 $E^{V}$ と $E^{W}$ のとり方によって変わってくる。基底 $E^{V}$ と $E^{W}$ を決めて、行列の世界に持ち込んだとき、線型写像も同様に行列の世界に持ち込める。

線形空間の世界	要素(element)が $K$ の行列の世界
$n$ 次元(dimension)の線形空間 $V$	$K^{n}$
基底 $E^{V}$	正則行列(invertible)
$E^{V}$ から ${E^{V}}^{'}$ への基底変換(transition)	基底変換行列(transition matrix)
$E^{V}$ から $E^{V}$ 自身への基底変換	単位行列(identity matrix) $I_{n}$
$v \in V$	$x =^{t} (\begin{array}{cccc} x_{0} & x_{1} & \dots & x_{n - 1} \end{array}) \in K^{n}$
$k$ 個のベクトル(vector)のSEQ $A \in V^{k}$	行列 $A = (\begin{array}{cccc} a_{0} & a_{1} & \dots & a_{k - 1} \end{array}) \in K^{n \times k}$
ベクトルのSEQ $E^{V}$	単位行列 $I_{n}$
線型写像 $f \in H o m (V, W)$	行列 $A \in K^{m \times n}$

なお、 $A$ の基底のとり方によるゆらぎは、基底変換行列で橋渡しできる。

線形写像

線型写像(mapping)

線型写像の性質

線形変換(linear transformation)

表現行列(transformation matrix)

証明