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線形結合(linear combination)

c_{0} a_{0} + c_{1} a_{1} + \dots + c_{n - 1} a_{n - 1} = \sum_{i \in n} c_{i} a_{i}

をSEQ $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n - 1}$ の線形結合という。

たとえば、はの線形結合である。

線形独立(linearly independent)

次の条件を満たすとき、 $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n - 1}$ が線形独立であるという。

「 $c_{0} a_{0} + c_{1} a_{1} + \dots + c_{n - 1} a_{n - 1} = \sum_{i \in n} c_{i} a_{i}$ となるのが $c_{0} = c_{1} = \dots = c_{n - 1} = 0$ のときのみ。」

空列(null sequence)は線形独立である。

線形従属(linearly dependent)

$a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n - 1}$ が線形独立でないとき、線形従属とする。

線形独立と行列(matrix)のランク

線形空間(linear space) $K^{n}$ を考える。 $A = (\begin{array}{cccc} a_{0} & a_{1} & \dots & a_{n - 1} \end{array})$ とおく。

斉次(homogeneous)（さいじ）線型方程式(equation) $A x = 0$ を考える。
線形独立の定義は、「 $x = 0$ のみが解(solution)」と言い換えられる。

斉次線型方程式の解が唯一であるのは自由度(degree of freedom)が $0$ であるときであった。

つまり、 $K^{n}$ のSEQが線形結合かどうかは、行列のランクを調べればわかる。

線形独立性の性質

零(zero)ベクトル(vector)を含むなら、線形従属
線形従属なSEQにベクトルを追加しても線形従属
線形独立なSEQからベクトルを除いても線形独立
$K^{n}$ のベクトルは $n + 1$ 本以上なら線形従属

証明

4. について。

条件にあうベクトルを並べると、 $m > n$ の行列 $\underset{n \times m}{A}$ ということになる。
$rank A < n$ より、 $m - rank A > m - n > 0$ となる。よって、自由度は $0$ より大きいので線形従属。

■

SEQでなく集合(set)でもいいように見えるが、SEQと行列の同一視(identify)をよく行(row)うため、SEQとして定義しておいたほうが都合がよい。
例えば、 $k_{i} \in K$ によるスカラー倍(scaling)の和を $\sum_{i \in n} k_{i} \cdot a_{i} =^{t} (\begin{array}{cccc} k_{0} & k_{1} & \dots & k_{n - 1} \end{array}) \cdot (\begin{array}{cccc} a_{0} & a_{1} & \dots & a_{n - 1} \end{array})$ のように記述する。