固有値

固有値(eigenvalue)

正方行列(square matrix)$A\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$に対し、$A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}$を$\lambda \in \mathbb{C}$、$\mathbf{x}\in {\mathbb{C}}^n$（ただし$\mathbf{x}\mathrm{\ne }\mathbf{0}$）が満たすとき、

• $\lambda$を固有値
• $\mathbf{x}$を固有値ベクトル(vector)

とそれぞれ呼ぶ。

なお、そのような$\mathbf{x}$は定数倍しても固有値ベクトルのままである。

固有値と固有値ベクトルすべてを求める問題を固有値問題という。

固有値問題の計算方法

$A\mathbf{x}=\lambda I\mathbf{x}$より$(A-\lambda I)\mathbf{x}=\mathbf{0}$となる。これは斉次方程式(homogeneous system)（さいじほうていしき）だ。

$A-\lambda I$が正則行列(invertible)であるなら、$(A-\lambda I{)}^{-1}$を左から乗じて$\mathbf{x}=\mathbf{0}$となるため、正則行列ではない。

よって、$\lambda$は$\mathrm{\mid }A-\lambda I\mathrm{\mid }=0$を満たす。この$\lambda$に関する方程式(equation)を固有値方程式と呼ぶ。

逆に、$\lambda$が$\mathrm{\mid }A-\lambda I\mathrm{\mid }=0$を満たしたのなら$(A-\lambda I)=\mathbf{0}$は$\mathbf{x}\mathrm{\ne }0$以外の解(solution)を持つため、方程式を調べれば、すべての固有値を調べたことになる。

TODO
TODO: 代数学の基本定理(fundamental theorem of algebra)

異なる固有値の固有ベクトル(eigenvector)は線形独立(linearly independent)

TODO

固有空間(eigenspace)

TODO