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クラメルの公式(Cramer's rule)

クラメルの公式は、線形方程式(system of linear equations)に対して明示的に解(solution)を与える公式。

自由度(degree of freedom) $0$ の線形方程式 $\underset{n \times m}{A} x = b$ について考える。

とする。

x_{0} = \frac{∣ \begin{array}{ccccc} b & a_{1} & a_{2} & \dots & a_{m - 1} \end{array} ∣}{∣ A ∣} x_{1} = \frac{∣ \begin{array}{ccccc} a_{0} & b & a_{2} & \dots & a_{m - 1} \end{array} ∣}{∣ A ∣} ⋮ x_{m - 1} = \frac{∣ \begin{array}{ccccc} a_{0} & a_{1} & a_{2} & \dots & b \end{array} ∣}{∣ A ∣}

が成り立つ。

\begin{aligned} ∣ \begin{array}{cccccccc} a_{1} & a_{2} & \dots & a_{i - 1} & b & a_{i + 1} & \dots & a_{m - 1} \end{array} ∣ \\ = & ∣ \begin{array}{cccccccc} a_{1} & a_{2} & \dots & a_{i - 1} & (A x) & a_{i + 1} & \dots & a_{m - 1} \end{array} ∣ \\ = & ∣ \begin{array}{cccccccc} a_{1} & a_{2} & \dots & a_{i - 1} & (\sum_{k \in n} a_{k} \cdot x_{k}) & a_{i + 1} & \dots & a_{m - 1} \end{array} ∣ \\ = & ∣ \begin{array}{cccccccc} a_{1} & a_{2} & \dots & a_{i - 1} & (a_{i} \cdot x_{i}) & a_{i + 1} & \dots & a_{m - 1} \end{array} ∣ \\ = & x_{i} ∣ \begin{array}{cccccccc} a_{1} & a_{2} & \dots & a_{i - 1} & a_{i} & a_{i + 1} & \dots & a_{m - 1} \end{array} ∣ \\ = & x_{i} ∣ A ∣ \end{aligned}

自由度 $0$ なので $n - rank A = 0$ 、つまり $rank A = n$ なので $∣ A ∣ \neq 0$ 。 $∣ A ∣^{- 1}$ を両辺に乗じる。

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